Программа курса «Теория вероятностей и математическая статистика»




Скачать 389.43 Kb.
НазваниеПрограмма курса «Теория вероятностей и математическая статистика»
страница1/3
Дата публикации21.08.2013
Размер389.43 Kb.
ТипПрограмма курса
www.zadocs.ru > Математика > Программа курса
  1   2   3
Программа курса «Теория вероятностей и математическая статистика»

лектор В.Ю.Королев
Тема 1. Вероятностное пространство. Операции над событиями. Свойства вероятности.

Пространство элементарных исходов – это любое мн-во Ω взаимоисключающих исходов эксперимента такое, что каждый интересующий нас результат эксперимента может быть однозначно описан с помощью элементов этого множества. Временно определим событие как подмножество пространства элементарных исходов. Класс F подмножеств Ω называется полуалгеброй, если a) Ω Є F б) A Є F, B Є F  AB Є F в) A Є F  существуют A1…An, Ai ∩ A = Ø, Ai ∩ Aj = Ø (i ≠ j), !A = A1 U A2…An. Класс F называется σ-алгеброй, если а) Ω Є F б) A Є F  !A Є F в) для любых последовательностей элементов множества их объединение принадлежит мн-ву. σ-алгебра F порожденная классом подмножеств Ω - минимальная σ-алгебра содержащая этот класс. Борелевская σ-алгебра подмн-в вещественной прямой называется σ-алгебра, содержащая все открытые подмножества прямой. Тройку (Ω , F, P) – Ω – конечное множество всех элементарных исходов, F – множество всех событий, P – вероятность, определенная для всех элементов F, будем называть конечным вероятностным пространством. Пусть Ω – непустое мн-во. Событие – непустое подмножество Ω . Событие Ω – достоверное, событие Ø – невозможное. Само Ω - пространство элементарных исходов. События несовместные, если A & B = Ø. Мн-во F – подмножество Q называется классом событий, если: 1) Ω Є F, 2) A Є F  !A Є F, 3) (A) Ai Є N, UAi Є F. F – вырожденный класс событий, если F = {Ω, Ø}. Множество F – сигма-алгебра. Событием тогда назовем подмножество Ω, являющееся элементом σ-алгебры событий. P – вероятность, если 1) P(Ω) = 1, 2) (A) A Є F P(A) >= 0, 3) (A) i Є N, Ai Є F, (A) i, j Є N, i != j  Ai && Aj = Ø, P(UAi) = Add(i=1, inf)P(Ai). Утверждение: P(Ø) = 0 (рассматриваем последовательность из Ω, Ø, Ø … и используем св-во аддитивности). Утв. Для любой вероятностной модели со счетным Ω в качестве σ-алгебры событий F можно брать множество всех подмножеств Ω, причем мощность F – континуум. Док-во: для F очевидным образом выполняются все условия σ-алгебры. Каждому элементу F можно поставить в соответствие последовательность из 0 и 1 (входит/не входит элемент). Зададим вероятности элементарных исходов, так чтобы их сумма была равна 1. Любое событие можно представить как счетное объединение элементарных исходов. Тогда можем пользоваться свойством аддитивности, ряд сходится из-за того что ограничен сверху. ЧТД. Пусть Ω - произвольное непустое мн-во, F – σ-алгебра событий на Ω и P – вероятность, определенная на F. В этих обозначениях тройка (Ω, F, P) называется вероятностным пространством.

Пусть задано вероятностное пространство.

Св-во1: Вероятность невозможного события равна 0.

Св-во2: св-во конечной аддитивности. Пусть задана σ-алгебра событий F и в ней конечная последовательность {Ai}, в которой все члены попарно несовместны. Тогда P(UAi) = ΣP(Ai) (через св-во счетной аддитивности).

Св-во3: P(!A) = 1 – P(A). (в сумме дают все мн-во и несовместны).

Т Сложения: P(A U B) = P(A) + P(B) – P(AB). Док-во: A = AB U A(!B), B = AB U (!A)B. Тогда A U B = A(!B) U AB U (!A)B. ЧТД,

Формула включения, исключения. P(UAn) = (-1)^0ΣP(Ai) + (-1)^1ΣP(AiAj) +…+(-1)^(n-1)P((&=1, n)Ai). Док-во: индукция через теорему сложения.

Монотонность вероятности: A Є B  P(B) >= P(A). Док-во: B= A + B\A. ЧТД.

Счетная полуаддитивность: Пусть задана бесконечная последовательность событий. Тогда вероятность их счетного объединения не превышает сумму их вероятностей. Док-во: Di = Ai \ (UAj). UAi = UDi. P(Di) <= P(Ai). Свойство бесконечной аддитивности. ЧТД.

Последовательность событий неубывающая: Ai Є Ai+1.

Последовательность событий невозрастающая: Ai+1 Є Ai.

Q – предел неубывающей последовательности событий – Q = limAi = UAi.

Q – предел невозрастающей последовательности событий – Q = limAi = &&Ai.

Последовательность событий монотонная – она невозрастающая или неубывающая.

Непрерывность по монотонной последовательности. Если {Ai} – монотонная последовательность, то P(limAi) = lim(P(Ai)). Док-во: для неубывающей используя кусок из предыдущей теоремы. Для невозрастающей: {Bn} – невозрастающая, то {!Bn} – неубывающая. &&Bn = !(U!Bn). Дальше почти очевидно. ЧТД.

Невозрастающая последовательность имеет 0 предел – limAi = Ø.

Из конечной аддитивности и непрерывности по неубывающей последовательности следует счетная аддитивность. Док-во: пусть {Bn}, BiBj = Ø, i ≠ j. An = UBi – неубывающая последовательность. P(UBi) = P(UAi) = P(limAn) = limP(An) = limΣP(Bi) = ΣP(Bi). ЧТД.

При наличии конечной аддитивности из непрерывности по невозрастающей последовательности следует непрерывность по неубывающей последовательности и наоборот. Док-во: {An} – неубывающая последовательность. limAn = !&&!Ai = !lim!Ai. Обратно аналогично. ЧТД.

Из конечной аддитивности и непрерывности по невозрастающей последовательности с нулевым пределом следует счетная аддитивность. Пусть {An} – последовательность событий с попарно несовместными членами. UAn = UAi + U Ai. Используя счетную аддитивность получаем P(UAn – P(UAi) = ΣP(Ai). Последовательность {ΣAi} – невозрастающая с 0м переделом. Тогда P(UAi) = P(Ai) – P(Ai) = lim(P(UAi) - P(UAi)) = limΣAi = ΣP(Ai). ЧТД. ТЕ понятия: счетной аддитивности, непрерывности по любой монотонной последовательности, непрерывности по невозрастающей последовательности с 0м пределом эквивалентны.

^ Тема 2. Условная вероятность. Независимость событий. Критерий независимости. Формула полной вероятности. Формула Байеса.

Условная вероятность события A при условии, что событие B уже произошло (P(B) > 0) называется величина P(A|B) = P(AB)/P(B). События независимые  P(AB) = P(A)P(B).

Если A, B независимы, то A, !B тоже независимы. P(A) = P(AB) + P(A!B)  P(A!B) = P(A) – P(AB). Расписать P(A)P(!B). ЧТД. Если два события независимы и несовместны - у одного из них 0вая вероятность (по определению). Пусть (Ω, F, P) – вероятностное пространство, B – любое событие с ненулевой вероятностью. Тогда (Ω, F, PB) – вероятностное пространство, PB(A) = P(A|B). Док-во: проверить три аксиомы вероятности. ЧТД, Пусть имеется конечное или счетное мн-во {An}. События An называются независимыми в совокупности, если для любого B Є {An}  P(&&Ai) = ∏P(Ai). Множество событий называется попарно независимым, если любые два элемента из него независимы.

Мн-во событий (конечное или счетное) Q = {Ei} называется разбиением пространства элементарных исходов Ω, если события из Q попарно несовместны, имеют ненулевые вероятности и U(Ei) = Ω. Пусть Q – разбиение Ω, тогда для любого A Є Ω: P(A) = ΣP(Ei)P(A|Ei). Док-во по свойству конечной или счетной аддитивности.

Пусть Q – разбиение Ω, A – некоторое событие, P(A) > 0. Тогда для любого i: Ei Є Q P(Ei|A) = P(Ei)P(A|Ei)/(ΣP(Ei)P(A|Ei)). Док-во: P(Ei|A) = P(EiA)/P(A) = ЧТД.

Вероятности P(Ei) в формуле Байеса – априорные, а P(Ei|A) – апостериорные.

^ Тема 3. Случайные величины. Измеримость функций от случайных величин.

Случайная величина ξ – действительная функция элементарного события ξ: Ω  R, обладающая свойством измеримости ξ^(-1)(B) = {w|ξ(w) Є |B} Є F. С помощью индикаторов случайную величину можно расписать в ряд. Распределение дискретной случайной величины X называется совокупность её значений x1, x2… с соответствующим набором вероятностей p1 = P(X = x1)….

Тема 4. Функция распределения, ее свойства. Дискретные, сингулярные и абсолютно непрерывные функции распределения и случайные величины. Плотность распределения. Теорема Лебега о разложении функции распределения.

Распределением случайной величины ξ называется функция Pξ(B) = P(ξ Є B) определенная для любого B Є |B. Если случайная величина имеет распределение Pξ – то она распределена по закону Pξ. Между случайными величинами могут быть определены 3 типа равенства: 1) тождественное равенство p(w) = q(w) 2) по вероятности(почти наверное) P{w|n(w) = q(w)}= 1. 3) Равенство по распределению. Для любого борелевского множества Pn(B) = Po(B). Функция распределения: Fξ(x) = Pξ((-inf, x)). Функция распределения случайной величины взаимно однозначно определяет распределение случайной величины (Док-во…) Функция распределения всегда неубывающая (через аддитивности). Функция распределения непрерывна слева. Док-во: Функция монотонна, те если построить хоть одну сходящуюс последовательность, то по всем сойдется (по Гейне вообщем). Строим невозрастающую последовательность {x – 1/n}, по свойствам вероятности получаем. ЧТД. Функция распределения имеет пределы на бесконечностях, на + 1, на – 0. (строить мн-ва [-inf, n), [-n, inf) для второй рассматривать предел 1-Pn). Функция распределения однозначно определяет рапспределение (P(-inf, a) = F(a), P(a, inf) = 1 – F(a), P([a, b)) = F(b) – F(a),…). Случайная величина называется дискретной, если существует не более чем счетное мн-во B, Pξ(B) = 1. Такое распределение тоже называют дискретным. Распределение случайной величины удобно записывать в виде ряда. Случайная величина называется вырожденной, если Pξ(a) = 1. Пусть задано некоторое измеримое пространство (S, H) и полная мера на нем. Мера называется полной, если все подмножества множества 0й меры являются элементами H (мера отличается от вероятности только отсутствием условия нормированности). Рассмотрим функцию g, определенную на S, принимающую не более чем счетное множество значений g(s) = yn, yn ≠ yk, n ≠ k, s Є Sn, Sn Є H, USn = S. Функция суммируема по Лебегу, если Σynm(Sn) сходится абсолютно, а сумма этого ряда – интеграл Лебега и обозначается $gdm или $g(s)m(ds). Функция называется суммируемой по Лебегу, если существует {gn}, limgn = f(s) и lim$gndm = I – интеграл Лебега. Распределение случайной величины называется абсолютно непрерывным, если существует такая неотрицательная функция f(x), что для любого борелевского множества Pξ(B) = $f(x)dx, при этом f(x) – плотность распределения этой случайной величины. Очевидным образом Fξ(x) = $<-inf, x>f(u)du. Распределение называется распределением сингулярного типа, если соответствующая функция распределения является непрерывной, но множество точек роста данной функции имеет меру Лебега 0. Точка называется точкой роста F(x), если для достаточно малой окрестности выполнено неравенство F(x – eps) < F(x + eps). Fξ(x) – непрерывная функция, dF(x)/dx = 0 почти всюду F(inf) – F(-inf) =1. Т Лебега: Любая функция распределения может быть представлена в виде F(x) = p1F1(x) + p2F2(x) + p3F3(x), где pi >= 0, i = 1, 2, 3, p1 + p2 + p3 = 1, а функции – являются функциями распределения абсолютно непрерывного, сингулярного и дискретного соответственно. Если все pi ≠ 0, то это представление единственно. Док-во: число точек разрыва не более чем счетно. Если нет точек разрыва, то p3=0 и сразу ко второму этапу. Первый этап: пусть точки разрыва x1,…, xn,… hi = Fξ(xi+0) – Fξ(xi). Введем Fd1 = {0, x<=x1, h1, x1<=x<=x2<…}, Она не убывает и непрерывна слева. Если Σhi = 1, то Fd1 = F, p1=p2 = 0. Иначе Σhi = a < 1. Тогда определим Fd = 1/aFd1. Тогда Fc = (Fξ(x) – Fd1(x))/(1-a) – непрерывная функция распределения. Таким образом разложили Fξ на дискретную и непрерывную части Fξ(x) = aFd(x) + (1-a)Fc(x).

Тема 5. Числовые характеристики случайных величин: математическое ожидание, моменты, квантили, медиана. Их свойства.

Математическим ожиданием случайной величины называется Eξ = $<Ω>ξ(w)P(dw). Если этот интеграл расходится, то говорят, что мат ожидания не существует. Пусть функции f(x), u(x) определены и ограничены на [a, b]. a= x0
σ = Σf(yi)(u(xi)-u(xi-1) – интегральная сумма Стилтьеса. Если существует их конечный предел при стремлении max|xi – xi-1|  0 равный I, то этот предел называется интегралом Стилтьеса и обозначается $f(x)du(x). При этом говорят, что f(x) интегрируема на [a, b] по u(x). Математическим ожиданием называется Eξ = $<-inf, inf>xdFξ(x). Если он расходится – мат ожидания не существует. Через площади можно показать, что $xdFξ(x) = -$<-inf, 0>Fξ(x)dx + $<0, inf>(1-Fξ(x))dx. Мат ожидание является характеристикой распределения, а не самой случайной величины (те равенство мат ожиданий следует из равенства по распределению). Для дискретной случайной величины Eξ = Σxipi. Если абсолютно непрерывна, то Eξ = $xf(x)dx. Св-ва: E(a + bξ) = a + bEξ; E(ξ + η) = Eξ + Eη (если любые 2 из равенства существуют); P(a <= ξ <= b) = 1  a <= Eξ <= b; |Eξ| = E|ξ|; ξ >= 0, Eξ = 0  ξ (п.н.)= 0; P(A) = EIA (мат ожидание индикатора); если ξ и η независимы, то Eξη = EξEη. Моментом k-ого порядка случайной величины ξ называется E(ξ^k). Центральным моментом случайной величины ξ порядка k называется E((ξ – E(ξ)^k). Центральный момент первого порядка равен 0. Утв если существует момент порядка n, то существуют все моменты меньшего порядка. (Оценка |ξ|^k < |ξ|^n + 1).

^ Тема 6. Числовые характеристики случайных величин: дисперсия, ковариация, коэффициент корреляции. Их свойства.

Дисперсией случайной величины называется её центральный момент второго порядка. Дисперсия константы равна 0 ( DC = E((C – EC)^2) = E(C^2) – 2E(CEC) + E((EC)^2) = E(C^2)– 2E(C^2) + E(C^2) = 0 ). Изменение случайной величины на константу не меняет её дисперсию (D(X + C) = E((X+C – E(X+C))^2) = E(X – EX + C- EC)^2 = E(X-EX)^2 = DX). Константа выносится из-под знака дисперсии с квадратом (просто расписываем). DX >= 0. Пусть X, Y – две независимые случайные величины, тогда если существуют их дисперсии, то существет дисперсия их суммы, причем D(X + Y) = DX + DY ( D(X+Y) = E((X-EX)^2 + (Y-EY)^2 + 2E(X-EX)(Y-EY)) через независимость DX + DY + 2E(X-EX)E(Y-EY) = DX + DY). Аддитивность можно обобщить по индукции. Среднеквадратичное отклонение – квадратный корень из дисперсии. Пусть заданы две случайные величины X, Y. Ковариацией называется cov(X, Y) = E((X-EX)(Y-EY)) = EXY – EXEY. Ковариация не меняется при изменении величин на константы (из второго вида формулы). Ковариация независимых величин равна 0. Дисперсия суммы двух величин в общем случае D(X+Y) = DX + DY + 2cov(X, Y). cov(CX, Y) = Ccov(X, Y). Коэффициент корреляции – p(X, Y) = cov(X, Y)/sqrt(DXDY). Коэффициент корреляции независимых величин равен 0. Для любых двух случайных величин коэффициент корреляции по модулю меньше 1. Док-во: Xc = X – EX, Yc = Y – EY. DXc = E(Xc^2), D(Yc) = E(Yc^2). cov(X,Y) = cov(Xc, Yc) = E(XcYc). Для любого вещественного a: 0 <= D(Xc – aYc) = E(Xc-aYc)^2 – ((E(Xc-aYc))^2) = E(Xc – aYc)^2. Рассматриваем как квадратное относительно a, дискриминант меньше или равен 0, получаем ЧТД. Если |p(X, Y)| = 1, то с вероятностью один случайные величины выражаются друг через друга (в предыдущем док-ве очевидно получится). Случайные величины называются некореллированными, если для них существует коэффициент корреляции и он равен 0.

^ Тема 7. Совокупности случайных величин, случайные векторы. Совместная функция распределения. Независимость случайных величин. Критерии независимости.

Случайные величины называются независимыми, если для любых борелевских B1,…,Bn P(ξ1 Є B1,… ξn Є Bn) = P(ξ1 Є B1)…P(ξn Є Bn). Пусть задано некоторое вероятностное пространство на котором задано n случайных величин. ξ = (ξ1, ξ2,…ξn): Ω  R^n. Будем рассматривать только измеримые функции. B(n) –σ-алгебра борелевских мн-в в R^n. ξ^(-1)(B(n)) Є F. Для измеримости ξ необходимо и достаточно, чтобы все ξi были измеримыми. Совместной функцией распределения называется F(x1, …, xn) = P(ξ1 < x1,…ξn < xn). Совместная функция распределения однозначно определяет распределение ξ1,…,ξn. Случайный вектор ξ и его функция распределения дискретны, если этот вектор принимает не более чем счетное число значений. Случайный вектор и … называются абсолютно непрерывными, если Fξ = $<-inf, x1>$<-inf, x2>…$<-inf, xn>p(u1, …, un)du1..dun. p(u1,..,un) – совместная плотность распределения. Точкой роста называется точка x = (x1, …xn), если для любого eps >0  P(ξ1 Є [x1, x1+eps), …,ξn[xn, xn + eps)) >0. Случайный вектор и … называется сингулярным, если Fξ – непрерывная, а мн-во всех точек роста имеет 0 меру Лебега. Для независимых случайных величин, зная функцию распределения каждой, можно найти функцию совместного распределения (как произведение их ф-р). Пусть задан ξ = (ξ1, ξ2,…ξn), Fξ, и система {η1 = h1(ξ1, …ξn),…ηm = hm(ξ1, …ξn)}. Пусть все hi – борелевские R^n  R^m. Надо зная Fξ, h1, …, hm, найти Fη(x1, …, xn). hi – непрерывны. ηi – случайные величины. Раз hi непрерывны, то ηi принадлежат тому же классу, что и ξi. Тогда и η – тоже абсолютно непрерывен. В одномерном случае. Пусть pξ(u) – плотность ξ. Тогда P(a<=ξpξ(u)du. Более того P(ξ Є B) = $pξ(u)du. В многомерном абсолютная аналогия. Не хитро получается P(η < y) = P(η1 < y1…ηn
  1   2   3

Добавить документ в свой блог или на сайт

Похожие:

Программа курса «Теория вероятностей и математическая статистика» iconЮ. Н. Миронкина методические указания по оцениванию параметров
Методические указания предназначены для выполнения типового расчёта по оцениванию параметров и проверке гипотезы о нормальном распределении...

Программа курса «Теория вероятностей и математическая статистика» icon01. 01. 05 «Теория вероятностей и математическая статистика»
...

Программа курса «Теория вероятностей и математическая статистика» iconНиворожкина Л. И., Морозова З. А. Математическая статистика с элементами...
Ниворожкина Л. И., Морозова З. А. Математическая статистика с элементами теории вероятностей в задачах с решениями: Учебное пособие....

Программа курса «Теория вероятностей и математическая статистика» iconМетодические указания и контрольные задания по курсу «Математическая статистика»
Т338 Математическая статистика: Методические указания и контрольные задания/ Сост. Н. А. Кучанская. – Вологда–Молочное: иц вгмха,...

Программа курса «Теория вероятностей и математическая статистика» iconРабочая программа учебной дисциплины «язык и технология программирования c++»
Изучение дисциплины базируется на освоении следующих дисциплин: математический анализ, дискретная математика, информатика, алгебра...

Программа курса «Теория вероятностей и математическая статистика» iconУчебное пособие для выполнения практических и контрольных работ по...
Теория вероятностей": Учебное пособие для выполнения практических и контрольных работ по курсу "Математика", "Элементы высшей математики"...

Программа курса «Теория вероятностей и математическая статистика» iconПрограмма дисциплины «Судебная статистика» Рекомендуется для направления подготовки
Учебная дисциплина «Судебная статистика» является обязательной, относится к базовой части учебного цикла, к общепрофессиональным...

Программа курса «Теория вероятностей и математическая статистика» iconУчебное пособие для студентов факультета математики и компьютерных наук
Учебное пособие, охватывающее 16 практических занятий по теории вероятностей, является результатом многолетнего опыта преподавания...

Программа курса «Теория вероятностей и математическая статистика» icon«обшая теория статистики»
Елисеева И. И., Юзбашев М. М. Общая теория статистики. – М.: Финансы и статистика, 2001

Программа курса «Теория вероятностей и математическая статистика» iconМетодические указания и рекомендации по изучению дисциплины «статистика»...
Вашему вниманию предлагается руководство по изучению дисциплины «Статистика» и подготовке к сдаче экзамена по этому предмету

Вы можете разместить ссылку на наш сайт:
Школьные материалы


При копировании материала укажите ссылку © 2013
контакты
www.zadocs.ru
Главная страница

Разработка сайта — Веб студия Адаманов