Одномерная установившаяся фильтрация несжимаемой жидкости и газа в пористой среде

ЛЕКЦИЯ - 4 ОДНОМЕРНАЯ УСТАНОВИВШАЯСЯ ФИЛЬТРАЦИЯ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ И ГАЗА В ПОРИСТОЙ СРЕДЕ § 1. Схемы одномерных фильтрационных потоков Как уже отмечалось, реальные коллекторы углеводородного сырья обладают сложной геометрией, строением, условиями залегания и т.д. По­этому для моделирования фильтрационных течений часто используют уп­рощенные постановки краевых задач, которые часто называют модельны­ми. В наиболее простых модельных задачах рассчитываются одномерные установившиеся фильтрационные течения в однородном недеформируемом изотропном пласте (коллекторе). К простейшим одномерным задачам относятся такие, в которых над­лежащим выбором системы координат можно сделать так, что фильтраци­онные характеристики (скорость, давление и т.д.) будут функциями только одной координаты. Одномерные фильтрационные потоки обладают раз­личной симметрией. В зависимости от симметрии фильтрационного потока различают прямолинейно-параллельное, плоскорадиальное и радиально- сферическое течение. В прямолинейно-параллельном потоке траектории частиц (линии то­ка) представляют собой прямые линии, которые параллельны друг другу. В качестве примера прямолинейно-параллельного фильтрационного тече­ния можно привести движение жидкости в лабораторных установках по определению проницаемости (см. рис. 4.1.6). В случае плоскорадиалыюго течения линии тока представляют собой лучи, лежащие на плоскости и исходящие из общего центра (полюса). Примером подобной схемы фильтрационного течения является приток флюида к центральной скважине в круговом пласте (рис. 4.1). При радиально-сферической фильтрации траектории частиц направ­лены к центру (от центра) полусферы. Подобное фильтрационное течение можно представить в случае, когда вскрыта кровля пласта и приток флюи­да направлен к полусфере (рис. 4.2). Рис. 4.1. Линии тока при плоскорадиальном потоке Рис. 4.2. Радиалыю-сферический фильтрационный поток Заметим, что при определении схем одномерных потоков использова­лись такие понятия, как траектории частиц и линии тока. В определениях использовались кинематические характеристики фильтрационного тече­ния, и они отражают не истинную, а осредненную картину течения, т.е. истинные траектории частиц и линии тока могут не совпадать со средними, модельными характеристиками фильтрационного потока. § 2. Прямолинейно-параллельная фильтрация несжимаемой жидкости Рассмотрим решение задач по определению основных характеристик одномерных фильтрационных течений несжимаемой однородной ньюто­новской жидкости в изотропном однородном недеформируемом пласте. Математическая модель в данном случае задается системой уравнений Δр=0. (4.1) (4.2) Проектируя уравнения (4.1) на декартову систему координат, получим Рис. 4.3. Прямолинейно-параллельный фильтрационный поток Пусть пласт представляет собой прямоугольный параллелепипед шири­ной В и толщиной h, ограниченный сверху и снизу непроницаемыми плос­костями, слева контуром питания, справа - галереей. Выберем систему координат так, как это показано на рис. 4.3, то есть начало координат по­местим на плоскость контура питания. Название - контур питания - обусловлено тем, что, согласно постановке за­дачи, через плоскость х = 0 происходит приток в пласт жидкости, которая далее фильтруется к галерее х = L. Ось Ох направим параллельно вектору скорости фильтрации. Тогда можно положить, что искомые функции - давление и скорость фильтрации — зависят только от координаты х, и уравнения (4.2) запишутся в виде (4.3) Проинтегрировав первое уравнение (4.3), получим откуда dp = C1dx и, далее, р = С1х + С2. Для нахождения констант интегрирования С1 и С2 необходимо задать граничные условия, то есть значения давления в двух точках на линии то­ка. Обычно известны значения давления на контуре питания рк и галерее рг (рк >рг). Поэтому для нахождения С1 и С2 имеем следующие гранич­ные условия р = рк при x = 0 и р = рг при x = L где рк — значение давления на контуре питания, рг — значение давления на галерее. Использовав граничные условия в выражении для давления, получим рк = С2 и pг =C1L + C2, откуда найдем Далее, подставив найденные значения постоянных интегрирования в выражения для давления и скорости фильтрации, получим решение задачи при прямолинейно-параллельной фильтрации (4.4) (4.5) Данный результат можно представить и в несколько ином виде. Ум­ножив скорость фильтрации на площадь галереи S = Bh (см. рис. 4.3), по­лучим значение расхода Q Выразив из равенства (4.5) перепад давления и подставив результат в формулу для распределения давления в пласте, будем иметь (4.6) Проанализируем полученные результаты. Как следует из соотноше­ний (4.4), давление в пласте при прямолинейно-параллельной фильтрации распределено по линейному закону, а скорость фильтрации во всем пласте постоянна. Важно отметить также, что соотношение (4.5), полученное в результате решения задачи для сформулированной выше математической модели фильтрации несжимаемой жидкости, в точности соответствует экспериментальному результату, полученному А. Дарси. Для прикладных исследований (при определении фильтрационных характеристик пласта в промысловых условиях) часто используют еще и другую интерпретацию полученного результата (4.4). При определении фильтрационных характеристик пласта по методу установившихся отборов строится индикаторная линия, которая представляет собой график зависи­мости расхода от разности давлений на контуре питания и галерее (эта разность называется депрессией на пласт). Таким образом, индикаторная линия представляет собой график зависимости вида Q = CΔp, где коэффициент пропорциональности С называется коэффициентом про­дуктивноти. Очевидно, он равен Следовательно, при выполнении закона Дарси индикаторная линия представляется в виде прямой. Еще одна промысловая задача связана с определением времени дви­жения в пласте «меченых частиц». С целью определения фильтрационных и емкостных параметров нефтегазового пласта в фильтрационный поток добавляют изотопы некоторых атомов или другие частицы, которые мож­но идентифицировать в потоке с помощью специальных методов. Время движения «меченых частиц» определяется из закона движения с помощью определения истинной средней скорости. Вначале приведем вывод формулы, используя стандартный подход, согласно которому пористость равна просветности, а далее внесем коррек­тивы, которые получаются в результате использования при определении связи между скоростью фильтрации и истинной средней скорости вместо пористости просветности (см. (1.12)). Пусть выражение для истинной средней скорости имеет вид 4.7.А) Разделим переменные в равенстве (4.7.А) и подставим в последнее равенство, найденное выше выражение для моду­ля вектора скорости фильтрации (4.4). В результате получим Далее, соотношение можно проинтегрировать и найти время, за кото­рое «меченая частица» переместится от контура питания (х = 0 и t = 0) до произвольной точки в пласте (х = х1 и t = t1): Выполняя интегрирование, получим следующее соотношение: (4.8А) Приняв, что х1 = L, получим время прохождения «меченой частицей» всего пласта, от контура питания до галереи — (4.9А) Однако в исходном соотношении вместо пористости необходимо бы­ло использовать просветность. В результате в качестве исходного соотно­шения будем иметь иное соотношение: (4.7В) Теперь для перехода от пористости к просветности воспользуемся структурным коэффициентом, который был введен в первой лекции при оп­ределении диаметра капилляра в идеальной пористой среде, преобразуем формулу (4.7В) к виду Так как φα в однородной пористой среде — константа, все дальнейшие выкладки остаются совершенно аналогичными и конечный результат, учи­тывающий то, что пористость не равна просветности, приведет к следую­щим равенствам: (4.8В) (4.9В) Формулы (4.8В) и (4.9В) отличаются от обычно используемых (4.8А) и (4.9А) на величину структурного коэффициента φα, значения которого удовлетворяют неравенству φα ≥ 1. Поэтому учет структурного коэффици­ента приводит к уменьшению времени движения меченых частиц. Еще одной важной характеристикой, используемой при решении при­кладных задач, является средневзвешенное по объему порового простран­ства пластовое давление , которое обычно определяется по формуле (4.10) где VП - общий объем порового пространства пласта. Однако подобное определение является не совсем корректным. В самом деле, согласно оп­ределению пористости (т = dVп/dV), имеем, что объем пор представляет­ся функцией вида которая определена на том же множестве «физических точек», что и объем пласта V, по которому непрерывно «размазаны» пустоты. Поэтому кор­ректное определение (4.10) должно выглядеть следующим образом: (4.11) то есть необходимо изменить область, по которой ведется интегрирование. Понятно, что можно ввести и другую характеристику - среднее по пласту давление: (4.12) Введенные характеристики можно сравнить. Тогда для однородного пласта (dVп = mdV и т = const) имеем Следовательно, для однородного пласта среднее по пласту давление равно средневзвешенному по объему пор. Если же пласт не является однородным, то среднее по пласту давление может и не совпадать со средне­взвешенным по объему пор: Подставим теперь формулу (4.4) для распределения давления в пласте в выражение (4.11) и вычислим средневзвешенное по объему пор давление (которое в данном случае равно среднему по пласту давлению): (4.13) Таким образом, основные фильтрационные характеристики при прямолинейно-параллельной фильтрации несжимаемой жидкости определяются формулами (4.4). (4.8А), (4.8В) и (4.13). §3. Плоскорадиальная фильтрация несжимаемой жидкости Определим теперь распределение давления и скорости фильтрации в пласте при плоскорадиальной симметрии задачи. Пусть имеем в круговом пласте Рис. 4.4. Плоскорадиальный поток в круговом пласте т олщиной h и радиуса RK (см. рис. 4.4) центральную скважину радиуса rс, на забое которой поддерживается постоян­ное давление. На боковой поверхности r = RK также поддерживается постоянное давление рк (рк> рс), и через нее происхо­дит приток флюида, равный дебиту скважи­ны. Поэтому фильтрация установившаяся, а боковая поверхность, через которую проис­ходит приток, называется контуром пита­ния. Система уравнений остается прежней и в безиндексной форме представляется уравнениями (4.1). При проектировании уравнений (4.1) на цилиндриче­скую систему координат (см. приложение 2) получим (4.14) Согласно принятой схеме течения, искомые функции не зависят ни от φ(течение осесимметричное), ни от z (течение плоское), поэтому в рассматриваемой задаче др/дφ = др/дz = 0, и значит, р = р(r) и wφ = wz=0, wr = w(r). Система уравнений (4.14) после сделанных упрощений принимает вид и (4.15) Обратим внимание на то, что в проекции закона Дарси (второго равенст­ва (4.15)) на координатную ось r знаки в левой и правой части совпадают. Это происходит из-за того, что движение происходит к скважине и ско­рость фильтрации проектируется со знаком минус. Проинтегрируем первое уравнение , и далее, разделяя переменные, получим Интегрируя последнее выражение, будем иметь откуда (4.16) Заметим, что при интегрировании было использовано граничное ус­ловие: при r = RK имеем р = рк . Можно было провести интегрирование и с другим граничным условием – при r = rс имеем р = рс , тогда бы получили (4.17) Очевидно, что оба выражения (4.16) и (4.17) эквивалентны. Для того чтобы найти константу С, можно поступить следующим об­разом. Умножим формулу для скорости фильтрации (4.15) на площадь бо­ковой поверхности цилиндра произвольного радиуса r (rc ≤ r ≤ RK): или Из последнего соотношения следует Можно было поступить и иначе: в формуле (4.17) положим r = Rк и получим Разрешим последнее соотношение относительно С и получим Подставляя первое найденное значение постоянной интегрирования в (4.16) и (4.17), получим формулы для распределения давления в пласте (4.18) Из соотношений (4.18), при r = rс для первого равенства и при r = Rк для второго, можно получить выражение для дебита (объемного расхода) скважины (4.19) Равенство (4.19) называется формулой Дюпюи, по имени ее автора — французского инженера-гидравлика XIX века. С помощью формулы Дюпюи равенства (4.18) для распределения дав­ления в пласте можно преобразовать к виду (4.20) Формулы (4.18) и (4.20), очевид­но, эквивалентны, и из них следует, что давление в пласте распределено по логарифмическому закону. Поэто­му при значениях радиуса, близких к радиусу контура питания, значения давления изменяются незначительно, но при приближении к скважине дав­ление резко изменяется (см. рис. 4.5). Формулы (4.18) и (4.20) в пространст­ве определяют поверхности, которые получаются вращением образующей вокруг оси симметрии скважины. По­верхность, соответствующая распределению давления, носит название во­ронки депрессии. Рис. 4.5. Распределение давления в плоскорадиальном потоке Понятно, что аналогично ведет себя и градиент давления, а следова­тельно, и скорость фильтрации (с той лишь разницей, что давление при приближении к скважине резко уменьшается, а скорость - возрастает). По­добное поведение скорости можно установить при анализе формулы, свя­зывающей между собой скорость и расход: (4.21) Рис. 4.6. Зависимости скорости фильтрации жидкости в плоско­радиальном потоке от радиуса Из физических соображений, подобное поведение функций, опреде­ляющих изменение в пласте давления и скорости фильтрации, легко объ­яснимо. В самом деле, через любую ци­линдрическую поверхность, концентрично расположенную относительно скважины, в единицу времени протекает один и тот же объем несжимаемой жид­кости (Q = const). Поэтому вблизи кон­тура питания площадь боковой поверх­ности цилиндра очень велика и скорости малы. При приближении к скважине площадь поверхности постоянно умень­шается и скорость возрастает (см. рис. 4.6). Для того чтобы скорость воз­растала, необходимо увеличение гради­ента давления. Как следует из формулы Дюпюи, уравнение индикаторной линии при плоскорадиальном потоке, так же, как и в случае фильтрации в галерее, за­дается уравнением прямой (см. рис. 4.7) Рис. 4.7. Индикаторная ли­ния для потока несжимаемой жидкости по закону Дарси с коэффициентом продуктивности Получим теперь расчетные соотноше­ния для определения времени движения «меченой частицы» в плоскорадиальном потоке. Как и в случае прямолинейно-параллельной фильтрации рассмот­рим два варианта. В первом варианте положим, что пористость равна про­светности, во втором внесем коррективы, которые следуют из уточнения понятия просветности. Согласно формулам (4.7А) и (4.21) для определения времени движения меченой частицы от контура питания до произвольной точки пласта имеем следующее уравнение Разделив переменные в выписанном дифференциальном уравнении и про­интегрировав его с пределами интегрирования от 0 до произвольною мо­мента времени t1 и от радиуса контура питания до r1; получим следующее соотношение: из которого следует Или, после использования формулы Дюпюи (4.19), найдем (4.23) Из равенства (4.23), в частности, следует, что «меченая частица» пройдет расстояние от контура питания до скважины за время Т, которое определяется формулой или, т.к. rc /RK ˂˂ 1, (4.24) Введение вместо пористости просветности, как и в случае прямолинейно-параллельной фильтрации, приведет к появлению в формулах (4.23) и (4.24) структурного коэффициента и и Далее определим средневзвешенное по поровому пространству давле­ние при плоскорадиальной фильтрации. Для этого подставим в равенство (4.10) формулу для распределения давления (4.20) После интегрирования по z и φ получим Первый интеграл в квадратных скобках легко вычисляется, а второй интегрируется по частям. В результате имеем Преобразуем полученное выражение, добавляя и вычитая в квадрат­ных скобках выражение В результате очевидных преобразований получим Поскольку Rk /rc>> 1, вторым слагаемым в полученном выражении можно пренебречь и переписать выражение для среднего по поровому пространству давления в виде (4.25) Перейдем к рассмотрению радиально-сферической фильтрации несжимае­мой жидкости.

Похожие:

	Какой научный труд по механике жидкости времен античности дошел до наших дней и кто его Кто первым из ученых эпохи возрождения начал исследования в области механики жидкости и газа?		Неустановившееся движение упругой жидкости и газа в упругом пласте Последнее означает, что основной формой пластовой энергии, обеспечивающей приток жидкости к скважинам в рассматриваемых неус­тановившихся...
	Учет несовершенства скважин Приток жидкости и газа к несовершенным, горизонтальным и многоствольным скважинам		Вопросы к экзамену по Гидравлике для специальностей ад, С, Т, В.... Важнейшие физические свойства жидкостей: плотность, вязкость, сжимаемость, объемное расширение
	Задачи, рекомендуемые для подготовки к экзамену по физике за 1 курс. 1 уровень В процессе изобарного охлаждения газа его объём уменьшился в n=2 раза. Определите конечную температуру t газа, если его начальная...		Контрольная работа по дисциплине «Механика жидкости и газа» Целью работы является закрепление знаний, полученных студентами при изучении теоретического материала, выработка у них навыков практического...
	Сжимаемой жидкости и газа М. Маскет изложил в своей монографии [1, 1946]. Используя метод отображения, он получил решение для точечного стока в неограниченном...		Полный список Группы и подгруппы компонентов Информация о температуре охлаждающей жидкости различные охлаждающие жидкости и выработка электрического тока
	Учебно-методический комплекс для студентов специальности 1-70 04... М 55 Механика жидкости и газа: Учеб метод комплекс для студ спец. 1-70 045 02 «Теплоснабжение, вентиляция и охрана воздушного бассейна»...		Методические указания к лабораторной работе №2. 1 Определение отношения... Изучение термодинамических процессов в газе. Освоение метода Клемана-Дезорма по определению отношения теплоёмкостей газа