Скачать 0.79 Mb.
|
ЛЕКЦИЯ - 4 ОДНОМЕРНАЯ УСТАНОВИВШАЯСЯ ФИЛЬТРАЦИЯ НЕСЖИМАЕМОЙ ЖИДКОСТИ И ГАЗА В ПОРИСТОЙ СРЕДЕ § 1. Схемы одномерных фильтрационных потоков Как уже отмечалось, реальные коллекторы углеводородного сырья обладают сложной геометрией, строением, условиями залегания и т.д. Поэтому для моделирования фильтрационных течений часто используют упрощенные постановки краевых задач, которые часто называют модельными. В наиболее простых модельных задачах рассчитываются одномерные установившиеся фильтрационные течения в однородном недеформируемом изотропном пласте (коллекторе). К простейшим одномерным задачам относятся такие, в которых надлежащим выбором системы координат можно сделать так, что фильтрационные характеристики (скорость, давление и т.д.) будут функциями только одной координаты. Одномерные фильтрационные потоки обладают различной симметрией. В зависимости от симметрии фильтрационного потока различают прямолинейно-параллельное, плоскорадиальное и радиально- сферическое течение. В прямолинейно-параллельном потоке траектории частиц (линии тока) представляют собой прямые линии, которые параллельны друг другу. В качестве примера прямолинейно-параллельного фильтрационного течения можно привести движение жидкости в лабораторных установках по определению проницаемости (см. рис. 4.1.6). В случае плоскорадиалыюго течения линии тока представляют собой лучи, лежащие на плоскости и исходящие из общего центра (полюса). Примером подобной схемы фильтрационного течения является приток флюида к центральной скважине в круговом пласте (рис. 4.1). При радиально-сферической фильтрации траектории частиц направлены к центру (от центра) полусферы. Подобное фильтрационное течение можно представить в случае, когда вскрыта кровля пласта и приток флюида направлен к полусфере (рис. 4.2). ![]() Рис. 4.1. Линии тока при плоскорадиальном потоке ![]() Рис. 4.2. Радиалыю-сферический фильтрационный поток Заметим, что при определении схем одномерных потоков использовались такие понятия, как траектории частиц и линии тока. В определениях использовались кинематические характеристики фильтрационного течения, и они отражают не истинную, а осредненную картину течения, т.е. истинные траектории частиц и линии тока могут не совпадать со средними, модельными характеристиками фильтрационного потока. § 2. Прямолинейно-параллельная фильтрация несжимаемой жидкости Рассмотрим решение задач по определению основных характеристик одномерных фильтрационных течений несжимаемой однородной ньютоновской жидкости в изотропном однородном недеформируемом пласте. Математическая модель в данном случае задается системой уравнений Δр=0. (4.1) ![]() ![]() (4.2) Проектируя уравнения (4.1) на декартову систему координат, получим ![]() Рис. 4.3. Прямолинейно-параллельный фильтрационный поток Пусть пласт представляет собой прямоугольный параллелепипед шириной В и толщиной h, ограниченный сверху и снизу непроницаемыми плоскостями, слева контуром питания, справа - галереей. Выберем систему координат так, как это показано на рис. 4.3, то есть начало координат поместим на плоскость контура питания. Название - контур питания - обусловлено тем, что, согласно постановке задачи, через плоскость х = 0 происходит приток в пласт жидкости, которая далее фильтруется к галерее х = L. Ось Ох направим параллельно вектору скорости фильтрации. Тогда можно положить, что искомые функции - давление и скорость фильтрации — зависят только от координаты х, и уравнения (4.2) запишутся в виде ![]() (4.3) Проинтегрировав первое уравнение (4.3), получим ![]() Для нахождения констант интегрирования С1 и С2 необходимо задать граничные условия, то есть значения давления в двух точках на линии тока. Обычно известны значения давления на контуре питания рк и галерее рг (рк >рг). Поэтому для нахождения С1 и С2 имеем следующие граничные условия р = рк при x = 0 и р = рг при x = L где рк — значение давления на контуре питания, рг — значение давления на галерее. Использовав граничные условия в выражении для давления, получим рк = С2 и pг =C1L + C2, откуда найдем ![]() Далее, подставив найденные значения постоянных интегрирования в выражения для давления и скорости фильтрации, получим решение задачи при прямолинейно-параллельной фильтрации ![]() (4.4) ![]() (4.5) Данный результат можно представить и в несколько ином виде. Умножив скорость фильтрации на площадь галереи S = Bh (см. рис. 4.3), получим значение расхода Q ![]() ![]() и подставив результат в формулу для распределения давления в пласте, будем иметь ![]() (4.6) Проанализируем полученные результаты. Как следует из соотношений (4.4), давление в пласте при прямолинейно-параллельной фильтрации распределено по линейному закону, а скорость фильтрации во всем пласте постоянна. Важно отметить также, что соотношение (4.5), полученное в результате решения задачи для сформулированной выше математической модели фильтрации несжимаемой жидкости, в точности соответствует экспериментальному результату, полученному А. Дарси. Для прикладных исследований (при определении фильтрационных характеристик пласта в промысловых условиях) часто используют еще и другую интерпретацию полученного результата (4.4). При определении фильтрационных характеристик пласта по методу установившихся отборов строится индикаторная линия, которая представляет собой график зависимости расхода от разности давлений на контуре питания и галерее (эта разность называется депрессией на пласт). Таким образом, индикаторная линия представляет собой график зависимости вида Q = CΔp, ![]() где коэффициент пропорциональности С называется коэффициентом продуктивноти. Очевидно, он равен Следовательно, при выполнении закона Дарси индикаторная линия представляется в виде прямой. Еще одна промысловая задача связана с определением времени движения в пласте «меченых частиц». С целью определения фильтрационных и емкостных параметров нефтегазового пласта в фильтрационный поток добавляют изотопы некоторых атомов или другие частицы, которые можно идентифицировать в потоке с помощью специальных методов. Время движения «меченых частиц» определяется из закона движения с помощью определения истинной средней скорости. Вначале приведем вывод формулы, используя стандартный подход, согласно которому пористость равна просветности, а далее внесем коррективы, которые получаются в результате использования при определении связи между скоростью фильтрации и истинной средней скорости вместо пористости просветности (см. (1.12)). Пусть выражение для истинной средней скорости имеет вид ![]() Разделим переменные в равенстве (4.7.А) ![]() и подставим в последнее равенство, найденное выше выражение для модуля вектора скорости фильтрации (4.4). В результате получим ![]() Далее, соотношение можно проинтегрировать и найти время, за которое «меченая частица» переместится от контура питания (х = 0 и t = 0) до произвольной точки в пласте (х = х1 и t = t1): ![]() Выполняя интегрирование, получим следующее соотношение: ![]() (4.8А) Приняв, что х1 = L, получим время прохождения «меченой частицей» всего пласта, от контура питания до галереи — ![]() (4.9А) Однако в исходном соотношении вместо пористости необходимо было использовать просветность. В результате в качестве исходного соотношения будем иметь иное соотношение: ![]() (4.7В) Теперь для перехода от пористости к просветности воспользуемся структурным коэффициентом, который был введен в первой лекции при определении диаметра капилляра в идеальной пористой среде, ![]() преобразуем формулу (4.7В) к виду ![]() Так как φα в однородной пористой среде — константа, все дальнейшие выкладки остаются совершенно аналогичными и конечный результат, учитывающий то, что пористость не равна просветности, приведет к следующим равенствам: ![]() (4.8В) ![]() (4.9В) Формулы (4.8В) и (4.9В) отличаются от обычно используемых (4.8А) и (4.9А) на величину структурного коэффициента φα, значения которого удовлетворяют неравенству φα ≥ 1. Поэтому учет структурного коэффициента приводит к уменьшению времени движения меченых частиц. Еще одной важной характеристикой, используемой при решении прикладных задач, является средневзвешенное по объему порового пространства пластовое давление ![]() ![]() где VП - общий объем порового пространства пласта. Однако подобное определение является не совсем корректным. В самом деле, согласно определению пористости (т = dVп/dV), имеем, что объем пор представляется функцией вида ![]() которая определена на том же множестве «физических точек», что и объем пласта V, по которому непрерывно «размазаны» пустоты. Поэтому корректное определение (4.10) должно выглядеть следующим образом: ![]() ![]() то есть необходимо изменить область, по которой ведется интегрирование. Понятно, что можно ввести и другую характеристику - среднее по пласту давление: ![]() Введенные характеристики можно сравнить. Тогда для однородного пласта (dVп = mdV и т = const) имеем ![]() Следовательно, для однородного пласта среднее по пласту давление равно средневзвешенному по объему пор. Если же пласт не является однородным, то среднее по пласту давление может и не совпадать со средневзвешенным по объему пор: ![]() Подставим теперь формулу (4.4) для распределения давления в пласте в выражение (4.11) и вычислим средневзвешенное по объему пор давление (которое в данном случае равно среднему по пласту давлению): ![]() Таким образом, основные фильтрационные характеристики при прямолинейно-параллельной фильтрации несжимаемой жидкости определяются формулами (4.4). (4.8А), (4.8В) и (4.13). §3. Плоскорадиальная фильтрация несжимаемой жидкости Определим теперь распределение давления и скорости фильтрации в пласте при плоскорадиальной симметрии задачи. Пусть имеем в круговом пласте ![]() Рис. 4.4. Плоскорадиальный поток в круговом пласте т ![]() (4.14) ![]() Согласно принятой схеме течения, искомые функции не зависят ни от φ(течение осесимметричное), ни от z (течение плоское), поэтому в рассматриваемой задаче др/дφ = др/дz = 0, и значит, р = р(r) и wφ = wz=0, wr = w(r). Система уравнений (4.14) после сделанных упрощений принимает вид ![]() ![]() Обратим внимание на то, что в проекции закона Дарси (второго равенства (4.15)) на координатную ось r знаки в левой и правой части совпадают. Это происходит из-за того, что движение происходит к скважине и скорость фильтрации проектируется со знаком минус. Проинтегрируем первое уравнение ![]() ![]() Интегрируя последнее выражение, будем иметь ![]() откуда ![]() Заметим, что при интегрировании было использовано граничное условие: при r = RK имеем р = рк . Можно было провести интегрирование и с другим граничным условием – при r = rс имеем р = рс , тогда бы получили ![]() Очевидно, что оба выражения (4.16) и (4.17) эквивалентны. Для того чтобы найти константу С, можно поступить следующим образом. Умножим формулу для скорости фильтрации (4.15) на площадь боковой поверхности цилиндра произвольного радиуса r (rc ≤ r ≤ RK): ![]() или ![]() Из последнего соотношения следует ![]() Можно было поступить и иначе: в формуле (4.17) положим r = Rк и получим ![]() Разрешим последнее соотношение относительно С и получим ![]() Подставляя первое найденное значение постоянной интегрирования в (4.16) и (4.17), получим формулы для распределения давления в пласте ![]() (4.18) Из соотношений (4.18), при r = rс для первого равенства и при r = Rк для второго, можно получить выражение для дебита (объемного расхода) скважины ![]() Равенство (4.19) называется формулой Дюпюи, по имени ее автора — французского инженера-гидравлика XIX века. С помощью формулы Дюпюи равенства (4.18) для распределения давления в пласте можно преобразовать к виду ![]() (4.20) Формулы (4.18) и (4.20), очевидно, эквивалентны, и из них следует, что давление в пласте распределено по логарифмическому закону. Поэтому при значениях радиуса, близких к радиусу контура питания, значения давления изменяются незначительно, но при приближении к скважине давление резко изменяется (см. рис. 4.5). Формулы (4.18) и (4.20) в пространстве определяют поверхности, которые получаются вращением образующей вокруг оси симметрии скважины. Поверхность, соответствующая распределению давления, носит название воронки депрессии. ![]() Рис. 4.5. Распределение давления в плоскорадиальном потоке Понятно, что аналогично ведет себя и градиент давления, а следовательно, и скорость фильтрации (с той лишь разницей, что давление при приближении к скважине резко уменьшается, а скорость - возрастает). Подобное поведение скорости можно установить при анализе формулы, связывающей между собой скорость и расход: ![]() (4.21) ![]() Рис. 4.6. Зависимости скорости фильтрации жидкости в плоскорадиальном потоке от радиуса Из физических соображений, подобное поведение функций, определяющих изменение в пласте давления и скорости фильтрации, легко объяснимо. В самом деле, через любую цилиндрическую поверхность, концентрично расположенную относительно скважины, в единицу времени протекает один и тот же объем несжимаемой жидкости (Q = const). Поэтому вблизи контура питания площадь боковой поверхности цилиндра очень велика и скорости малы. При приближении к скважине площадь поверхности постоянно уменьшается и скорость возрастает (см. рис. 4.6). Для того чтобы скорость возрастала, необходимо увеличение градиента давления. Как следует из формулы Дюпюи, уравнение индикаторной линии при плоскорадиальном потоке, так же, как и в случае фильтрации в галерее, задается уравнением прямой (см. рис. 4.7) ![]() ![]() Рис. 4.7. Индикаторная линия для потока несжимаемой жидкости по закону Дарси с коэффициентом продуктивности ![]() П ![]() Р ![]() из которого следует ![]() Или, после использования формулы Дюпюи (4.19), найдем ![]() (4.23) ![]() или, т.к. rc /RK ˂˂ 1, ![]() (4.24) ![]() ![]() и и Далее определим средневзвешенное по поровому пространству давление при плоскорадиальной фильтрации. Для этого подставим в равенство (4.10) формулу для распределения давления (4.20) ![]() После интегрирования по z и φ получим ![]() Первый интеграл в квадратных скобках легко вычисляется, а второй интегрируется по частям. В результате имеем ![]() Преобразуем полученное выражение, добавляя и вычитая в квадратных скобках выражение ![]() ![]() Поскольку Rk /rc>> 1, вторым слагаемым в полученном выражении можно пренебречь и переписать выражение для среднего по поровому пространству давления в виде ![]() (4.25) Перейдем к рассмотрению радиально-сферической фильтрации несжимаемой жидкости. |
![]() | Кто первым из ученых эпохи возрождения начал исследования в области механики жидкости и газа? | ![]() | Последнее означает, что основной формой пластовой энергии, обеспечивающей приток жидкости к скважинам в рассматриваемых неустановившихся... |
![]() | Приток жидкости и газа к несовершенным, горизонтальным и многоствольным скважинам | ![]() | Важнейшие физические свойства жидкостей: плотность, вязкость, сжимаемость, объемное расширение |
![]() | В процессе изобарного охлаждения газа его объём уменьшился в n=2 раза. Определите конечную температуру t газа, если его начальная... | ![]() | Целью работы является закрепление знаний, полученных студентами при изучении теоретического материала, выработка у них навыков практического... |
![]() | М. Маскет изложил в своей монографии [1, 1946]. Используя метод отображения, он получил решение для точечного стока в неограниченном... | ![]() | Информация о температуре охлаждающей жидкости различные охлаждающие жидкости и выработка электрического тока |
![]() | М 55 Механика жидкости и газа: Учеб метод комплекс для студ спец. 1-70 045 02 «Теплоснабжение, вентиляция и охрана воздушного бассейна»... | ![]() | Изучение термодинамических процессов в газе. Освоение метода Клемана-Дезорма по определению отношения теплоёмкостей газа |